70.爬楼梯

2020-05-13

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
1
2
3
4
5
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶
示例 2：
1
2
3
4
5
6
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
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思路

小青蛙跳台阶！！！

暴力法

直接递归：假设求解共 $n$ 级台阶的总方法数的函数为 $f(n)$ ，那么递推关系为 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ 。

时间复杂度： $O(2^N)$ ，空间复杂度 $O(N)$ 。

动态规划

其实也是对暴力法直接递归的优化，存储已经计算过的结果使时间复杂度降为 $O(N)$ 。

代码：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3; i<=n; ++i){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

其实还可以优化，因为计算的窗口大小实际上只有3，我们只需保存三个值即可。

时间复杂度 $O(N)$ ，空间复杂度 $O(N)$ ；

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        vector<int> dp(3);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i=3; i<=n; ++i){
            dp[2] = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dp[2];
        }
        return dp[2];
    }
};

时间复杂度 $O(N)$ ，空间复杂度 $O(1)$ ；

再写个递归的动态规划吧！

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        vector<int> table(n+1);
        table[1] = 1;
        table[2] = 2;
        return helper(n, table);
    }
private:
    int helper(int n, vector<int>& table){
        if(table[n]!= 0) return table[n];
        else return table[n] = helper(n-1, table)+helper(n-2, table);
    }
};

写法也是维护一个保存计算值的数组，并对较小的n初始化。

时间复杂度 $O(N)$ ，空间复杂度 $O(N)$ 。

数学方法

使用矩阵计算斐波那契数列
使用斐波那契公式

这些都算是背公式了，先不讨论。